1 - Définitions et théorèmes

Définition de l’indice

On appelle indice un valeur qui mesure l’évolution d’une grandeur dans le temps. Pout caractériser l’évolution d’une grandeur P qui avait la valeut P0 au temps t0 et qui a la valeur P1 au temps t1, on calcule le rapport entre P1 et P0 selon la formule :

Indice t1/t0 = (P1 / P0) x 100

La multiplication par 100 permet de fixer une base de 100 à la valeur initiale P0.

On peut considérer l’exemple de l’indice des prix à la consommation dont les variations en 2001, 2002 et 2003 font l’objet du tableau suivant :

Indice des prix ‡ la consommation

Nota : La base 100 avait été fixée à 100 en février 1999.

On peut tracer l’évolution de cet indice pendant 3 ans :

Graphique de l’Èvolution de l’indice

Taux de variation

On peut raisonner également en taux de variation relative (augmentation ou dimunution) exprimé en % grâce à la formule suivante :

Taux de variation (t1/t0) = (Valeur à t1 - Valeur à t0) / Valeur à t0 x 100

On passe de l’indice au taux de variation ainsi :

Taux = indice - 100

Considérons dans le tableau précédent les valeurs P1 et P2 des indices respectivement en janvier 2002 (t1) et janvier 2003 (t2) :

 Janvier 2002 104,8
 Janvier 2003 106,9

Le taux de variation atteint en janvier 2002 est égal à :

[(104,8 - 100) / 100 ] x 100 = 4,8 %

De la même façon en janvier 2003 on atteint un taux de variation de 6,9 %

Changement de base

Si P0 est l’indice de base (100) en février 1999 (t0), on peut écrire :

Indice (t1/t0) = (P1 x 100)/P0 (1) Indice (t2/t0) = (P2 x 100)/P0 (2)

Si l’on veut prendre comme nouvelle base janvier 2002, on évalue l’indice de P2 ainsi :

Indice (t2/t1) = (P2 x 100)/P1 (3)

Grâce à (1)et (2) on peut déduire que :

P2 = Indice (t2/t0) x P0 /100

P1 = Indice (t1/t0) x P0 /100

Soit, en remplaçant P1 et P2 dans (3) :

Indice (t2/t1) = (Indice (t2/t0) x P0 /100) x 100) / Indice (t1/t0) x P0 /100

Soit en simplifiant :

Indice (t2/t1) = (Indice (t2/t0)) / Indice (t1/t0) x 100)

Application numérique :

Indice (2003 / 2002) = 106,9 / 104,8 x 100 = 102

On remarque que les taux de variation ne s’additionne pas comme le montre le schéma ci-dessous :

Changement de base

Attention : les taux de variation ne s’additionne pas. Deux augmentation successives de 20 % ne donne pas au final une augmentation de 40 % mais de 44 % !