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3 - Loi normale ou loi de Laplace-Gauss
Présentation La loi normale a été proposée par Pierre-Simon Laplace (1749-1827) dans son ouvrage : Théorie analytique des probabilités. Cette loi caractérise des grandeurs qui se répartissent autour d’une valeur moyenne avec des probabilités qui diminuent de manière symétrique à mesure que l’on s’éloigne de la moyenne. C’est donc une courbe en forme de "cloche" comme celle de la répartition de la taille des Français. La loi normale se caractérise essentiellement par la moyenne et l’écart-type de la distribution. Elle se formule mathématiquement assez simplement à partir de ces deux paramètres :
L’allure de la courbe représentant la loi normale est la suivante :
Loi normale centrée réduite Pour "centrer" la courbe précédente, et la normer par rapport à l’écart-type, il suffit d’effectuer le changement de variable suivant qui fixe l’origine des abscisses au droit de la moyenne : T = (X - moyenne) /écart-type On obtient alors la loi normale centrée réduite. On démontre que si une variable aléatoire X suit une loi normale N (m ; sigma) alors la variable aléatoire T = (X - m)/ sigma suit la loi normale centrée réduite : N (0 ;1). L’équation de la loi normée réduite devien la suivante :
L’allure de la courbe normée est la suivante :
Cette loi normée sera d’une utilisation beaucoup plus facile et on trouvera des tables qui permettent d’évaluer facilement les probabilités associées à certains valeurs ou plage de valeurs de la variable. On utilisera d’ailleurs plus facilement la fonction de répartition qui calcule la probabilité qu’une variable ait une valeur inférieure à une valeur donnée. On a superposé ci-dessous, les courbes de la fonction de répartition et de la loi normale réduite centrée :
On note que la courbe de la fonction de répartition coupe l’axe des ordonnées avec la valeur 0,5. La probabilité que la variable ait une valeur inférieure à la moyenne est donc de 50 % ce qui confirme la symétrie de la loi normale par rapport à la moyenne. |
